Відмінник

Вчимося на відмінно

Правила диференціювання функцій. Похідна у фізиці і техніці

Дії знаходження похідних функцій називаються диференціюванням функцій і виконуються за такими правилами:

- Похідна суми певної скінченої кількості функцій дорівнює сумі похідних доданків.

- Похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних зменшуваного і від’ємника.

- Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків першої функції на похідну другої функції і другої функції на похідну першої функції.

Зверніть увагу! Множник, що є константою (постійною величиною), можна виносити за символ похідної.

Похідна добутку константи і функції дорівнює добутку константи на похідну функції.

Похідна добутку трьох функцій дорівнює сумі трьох доданків, кожний із яких є добутком двох із даних функцій на похідну третьої функції.

- Похідна частки двох функцій дорівнює дробу, знаменник якого дорівнює квадрату дільника, а чисельник – різниці між добутком дільника на похідну діленого і добутку, поділеного на похідну дільника.

Запамятайте! Похідною дробу, в чисельнику якого деяка функція, а в знаменнику константа, є дріб, у чисельнику якого похідна чисельника, а в знаменнику та ж сама константа.

Похідною дробу, в чисельнику якого константа, а в знаменнику деяка функція, є дріб, у чисельнику якого протилежна константа, помножена на похідну знаменника заданого дробу, а в знаменнику — квадрат знаменника заданого дробу.

- Похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції, помноженій на похідну внутрішньої функції, тобто похідна складеної функції дорівнює добутку похідних від функцій, що її становлять.

Наприклад, якщо задана функція у = sin2x, то внутрішньою функцією є тригонометрична функція синус х, а зовнішньою —степенева функція квадрат синуса х, тому похідною заданої функції буде добуток степененевої функції і тригонометричної функції, а саме 2 sin x cos x.

Похідні функцій знаходять своє застосування у фізиці і техніці.

Запам’ятайте! Швидкість руху тіла є похідною відстані як функції часу.

Прискорення руху тіла є похідна швидкості або друга похідна відстані як функцій часу.

Кутова швидкість руху є похідною кута як функції часу. Кутове прискорення є похідною кутової швидкості або другою похідною кута як функцій часу.

Лінійна густина стержня є похідною його маси як функції довжини стержня.

Сила струму є похідною кількості електричного заряду як функції часу.

Теплоємність є похідною кількості тепла як функції часу.